地球磁場は光子なのか？

さて，また電磁気学の話題です。物理に興味のない人はあしからず（前野さんの宿題もまだだ，すみません）。

ナカムラが学生のころからもっている諸々の疑問のひとつに「地球磁場は光子か？」というのがある。アインシュタインが提唱した光量子説から量子力学が発展して，プランク分布がどうの，というのは，この話題に興味のあるかたはとっくにご存知と思うので省略するが，量子電磁気学によると，いまわれわれが電磁場と思っているものは，実は量子化された光子という実体で説明される，ということになっている。

そして，電磁場のうちの電場については，クーロン場の量子化がなにやら難しくて，仮想光子がどうのこうのという話になるのだが，磁場については全部光子でおっけ，というような雰囲気がある。雰囲気，と書いたのは，ナカムラの手元およびネット上でみた文献には，はっきりとそうとは書いてないのがほとんどだからだ。Wikipedia英語版のvirtual particleの項目には双極子磁場の磁力も仮想光子が運ぶと書いてあるが，本当かなあ。

考えるに，地球磁場みたいな双極子磁場は，イメージとしてなんか粒子っぽくない。twitterでこの疑問を書いたら，地磁気の専門家からも，光子じゃない印象，という返信をいただいた。やっぱり現場の感覚としてはそんな気がする。

そもそも時間変化していないので，光子一個分のエネルギーとされるｈνはゼロなのに，地球磁場は厳然として巨大なエネルギーをもっている。ｈν→0の極限で粒子数が無限大になるから有限のエネルギーをもっているのだろうか，と学生のころは漠然と考えていたが，最近，電磁場の解析力学をいろいろと勉強しているうちに，やっぱり地球磁場は光子じゃないんじゃなかろうか，と考えるようになってきた。「光子じゃない」というのは，一個，二個と数えられる存在ではないという意味である。

ところが，いわゆる調和振動子に分解するという計算をしてみると光子じゃないっぽいのだが，遅延ポテンシャルで考えてみると伝搬性のイメージになったりして，よくわからん，ということになった。で，ちょっと長くなるので次の記事に考えたことをまとめたのだが，ナカムラは量子力学，とくに場の量子論については門外漢なので，これを読まれた識者のご意見をうかがいたい。電場のクーロンポテンシャルと仮想光子についても，思うところがあるのだが，まだ頭の中が整理されてないので，それについてはのちほど。

地球磁場は光子ではない？

前の記事で書いた疑問の，自分なりに考えた内容です。味気ない論文調で失礼。識者のご教示をおねがいします。（数式はスマートフォン・タブレット版では見えません。「ＰＣ用のサイトをみる」などのオプションを選択してください。）

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まず，古典場を考える。本稿では特に断らない限り，記号は習慣的な意味をもつ（$A_{\mu}$：４元ポテンシャルなど)。また，単位系は適当にとって，$4\pi c$やら$\mu_{0}$やらがでてこないようにしてある。詳しい計算はいちばん下にある参考文献をみてください。

以下ではローレンツゲージ$\partial_{\mu}A^{\mu}=0$を使う。電磁場の作用$I$ は
$$\begin{align*} I & =\int d^{4}x\,\left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+A_{\mu}J^{\mu}\right)\nonumber \\ \, & =\int d^{4}x\,\left(-\frac{1}{2}\partial_{\mu}A_{\nu}\partial^{\mu}A^{\nu}+\frac{1}{2}\partial_{\mu}A_{\nu}\partial^{\nu}A^{\mu}+A_{\mu}J^{\mu}\right)\,, \end{align*}$$
で与えられる。部分積分により$\int d^{4}x\:\partial_{\mu}A_{\nu}\partial^{\nu}A^{\mu}=\int d^{4}x\:(\partial_{\mu}A^{\mu})^{2}$となるが，これはローレンツゲージの条件からゼロとなるので，ラグランジアン$L$は
$$\begin{equation} L=\int d^{3}x\,\left(-\frac{1}{2}\partial_{\mu}A^{\nu}\partial^{\mu}A^{\nu}+A_{\mu}J^{\mu}\right)\,,\label{eq:lagrange} \end{equation}$$
と書ける。

ここで，この手の計算でよくやるように偏極単位ベクトル$\epsilon_{\lambda}^{\mu}(\mathbf{k})$を導入する。添字$\lambda=1,2$は波数ベクトル$\mathbf{k}$に対して「横方向」を$\lambda=3$は「縦方向」を意味し，$\lambda=0$は時間方向である。これを使って４元ポテンシャル$A_{\mu}$および電流$J^{\mu}$を以下のように展開する。
$$\begin{align*} A_{\mu}(t,\mathbf{x}) & =\int\frac{dk^{3}}{(2\pi)^{3}}\sum_{\lambda=0}^{3}\epsilon_{\mu\lambda}(\mathbf{k})c_{\lambda}(t;\mathbf{k})e^{ic\mathbf{k}\mathbf{x}}\,,\\ J^{\mu}(t,\mathbf{x}) & =\int\frac{dk^{3}}{(2\pi)^{3}}\sum_{\lambda=0}^{3}\epsilon_{\lambda}^{\mu}(\mathbf{k})\chi_{\lambda}(t;\mathbf{k})e^{ic\mathbf{k}\mathbf{x}}\,. \end{align*}$$
この展開では，普通やるように生成消滅演算子をつかわずに，ナマのフーリエ成分$c_{\lambda}(t;\mathbf{k})$を使い，時間$t$への依存は変換せずにそのままにしてある。この変換をもとに($\ref{eq:lagrange}$)のラグランジアンからハミルトニアンを計算すると
$$H=\frac{1}{2}\sum_{\mathbf{k}}\left[-\left(\dot{c}_{0}^{2}+k^{2}c_{0}^{2}-2c_{0}\chi_{0}\right)+\sum_{i=1}^{3}\left(\dot{c}_{i}^{2}+k^{2}c_{i}^{2}-2c_{i}\chi_{i}\right)\right]\,,$$
となる。ただし，$\partial c_{\mu}/\partial t=\dot{c}_{\mu}$と書いた。

以下では，ソースタームが時間によらないとしよう（$\dot{\chi}=0$）。 新しい変数$\xi_i=c_i-\chi_i/k^{2}$を導入すると，横成分（$i=1,2$）に対応するハミルトニアンは以下のように書ける。
$$H_{i}=\frac{1}{2}\sum_{\mathbf{k}}\left(\dot{\xi}^{2}_{i}+k^{2}\xi_{i}^{2}+\frac{\chi_i^{2}}{k^{2}}\right)\,.$$
括弧のなかの第３項は，定常電流がつくる，いわゆる「near field」の寄与で時間依存はない。この項が磁場成分しかもたないことは，直接計算から示すことができ，双極子磁場などの定常時場がこれに相当することがわかる。このハミルトニアンから，力学変数$\xi_i$は$c_i$のゼロ点を$\chi_i/k^{2}$だけ移動した調和振動子であることがわかる。

ここまでの話は古典場であったが，これを交換関係$[\dot{\xi_i},\xi_i]=i$（これは$[\dot{c_i},c_i]=i$と等価である）を使って量子化しよう。量子化の標準的手順によって，生成消滅演算子$\hat{a}_i^{(\pm)}=(2k)^{-1}(\dot{\xi_i}\pm i|\mathbf{k}|\xi_i)$を導入すると，モード$k$の粒子が$n_k$個ある状態$\left|n_{k}\right\rangle$の横成分のエネルギーは
$$\hat{H}_{i}\left|n_{k}\right\rangle =\left[\omega\left(n_{k}+\frac{1}{2}\right)+\frac{\chi_i^{2}}{2 k^{2}}\right]\left|n_{k}\right\rangle \,,$$
と計算できる（$\omega=|\mathbf{k}|$と書いた）。

これから，横成分の電磁場のエネルギーは$\omega(n_{k}+\frac{1}{2})$と$\chi_i^{2}/2 k^{2}$の２つの部分からなることがわかる。はじめの部分は光子で，これは間隔$\omega$の離散的な値をとる。この値が光子の数と比例すると解釈して一個，二個と数えることができるとするのが「量子」つまり量子化による粒子像である。二番目の部分は磁場のみからなる「near field」の寄与で，これは電流の値が連続的であれば連続的な値をとる。そういう意味でこの部分は「量子」ではない。

（しかし，上式のように分解するのは，数学計算上の便法的な部分がある気もする。物理的実体としては遅延ポテンシャルみたいなものが適当だと思うが，その場合は光子の概念はどうなるのだろう？）

参考文献
・量子場の理論入門（「いろぶつ」こと琉球大学前野さんの講義録）
・電磁場の量子化（「物理のページ」から）