分極ベクトルは必要か？

さて，前回のページで電場Ｅと電束密度Dの関係についてちょっとふれたら，さっそく前野さんからtwitterでつっこみがあって（注）で，近日中にもっと書きます，と返事をしたら，まだ宿題があるとの指摘が帰ってきた。あたたたっ，そういえば，去年に解析力学について書いたときに，前野さんのコメントに返事するといいながら，ころっとわすれてました。

実は前野さんにいただいたコメントに関してはナカムラの記述は間違いまくっており，しかしそれを正すうちに面白いことを見つけてそれを書かねば，などとやってるうちに時がすぎてしまいました。そして，さらに恐ろしいことに，そのとき考えた面白いことが，微妙に忘却の彼方にいってしまって，ああどうしよう，となっているのだが，とりあえずED問題について解説を書いたので今回はそれをご紹介します。ここを参考にMathJaxを使って数式を書いてるので，モバイル端末とかだと数式でないかも。

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教科書などで電場Eと電束密度Dの関係を説明するときに、ほとんどの場合分子分極をもちだして、電流なり電荷なりを分極部分とそれ以外にわけて、という手順をふむ。こういうのを読むと、分極とそれ以外という区別は物理的になにか本質をついたものであり、電束密度Dも物理的実体であるかのようにな気分になる。それに対して，いくつかの教科書（代表はファインマン物理）では電束密度Ｄというのは計算を簡単にする数学的な補助場で，本質的なものはＥひとつであるという立場で説明してある。しかし，ファインマンでも分極ベクトルＰというものは使っていて，これを分子分極から導出している。

本当に分極ベクトルＰというのは必要なのか？　実は分子分極とはまったく関係なくても分極電流というものを定義できる場合もある。たとえば（とかいいながら実はこの例しか知らないのだが）磁場中の無衝突プラズマを伝わる磁気流体波（MHD波）については、荷電粒子の磁場中の旋回運動から生じる電流のために、近似として媒質中のマックスウェル方程式と同じ形の方程式（磁場方向による非等方性はある）で記述することができ，アルフベン波という分散性のない電磁波がみちびかれる。この場合，分極電流はちゃんと存在するが，分極ベクトルＰに対応する明確な物理的実体は存在しない。つまり分極ベクトルなしでも媒質中のマックスウェル方程式が書けるわけだ。

以下では，電場Ｅから分極ベクトルＰを使わずに電束密度Ｄを定義しよう。まず，ファインマンと同じく，物理的な基本量は電場Eのみという立場をとる。自然単位系を使って，cとか4πとかμ０とかがでてこないようにすると，真空中のマックスウェル方程式のDはEでおきかえられる。ディメンジョンがちがうと思われるかもしれないが，普遍的な物理定数として適当なディメンジョンをもった比例係数があると考えればいい（このへんについては，実はもうすこし詳しい説明が必要かも）。

媒質の中を電磁波が伝搬しているような状況を考える。電磁波の電場が媒質の電荷に作用すると、その電荷に力がかかるので、なんらかの運動が生じる。で、この運動は電流になるわけだが、これをJと書こう。簡単のためこれ以外の電流はないとする。このJは電場Eが決まれば決まるわけだが、一般には過去の電場の値も影響したりするのでJ(E)のような単純な関数の形には書けない。

しかし、特殊な場合として、Jが電場の微分だけの関数としてJ(dE/dt)のように近似できるときもあるかもしれない、というか実際によくあってそれが誘電体なのだが。さらに電場があまり強くないときは線形の近似ができたりするとラッキーで、その場合は比例定数χを使ってJ=χ(dE/dt)とかける。これをアンペールの式に入れると、
$$
\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}+\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{E}=\frac{\partial}{\partial t}\left(\chi+1\right)\mathbf{E}
$$
 となるが、ここで(χ+1)E=Dと書くと、Jを意識せずに真空中のマックスウェル方程式と同じような形になってすっきりする。以上の議論にPは使っていない。

ここまではなぜJ=χ(dE/dt)と書けるかは問わずに、書けたらラッキー、ということだったが、そのへんにある誘電体のミクロな物理を調べてみると分子分極の場ＰからＤが導出できて、Ｐにもそれなりに意味があるということになるわけだ。しかしＰは一般的には必要ではなく，これに対応する物理的実態が存在しなくても、J=χ(dE/dt)と書けさえすれば、媒質中の電磁場方程式はマックスウェル方程式と同じ形に書くことができる。

では、divDで与えられる真電荷とはなんだろうか？　これも「もしJ=χ(dE/dt)と近似できればラッキー」という立場からすると、J=χ(dE/dt)と近似できなかったのこりの部分がつくる電荷と考えればいいと思う。分極電荷以外の自由に動ける電荷とか，マクロに平均するとどうこうとかいう定義は、実は定義でなく、近似できずにのこった部分を調べてみるとたまたまそうなっているというような性質だと思えば気が楽になる。

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…と愚考するのですが，どうでしょう？　磁場についてもdE/dtのかわりに∇×Bを使えば同じ議論ができると思います。

（注）今回のタイトルを「ED問題」にするという誘惑にかろうじて勝った。引き返す勇気をほめて欲しい。